Question

已知圓C：x²+y²－2x+4y－4=0,是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.若存在，求出直線l的方程;若不存在，說明理由

Answer 1

假設存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.設l的方程為y=x+b,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

由OA⊥OB知，k_OA·k_OB=－1,   即=－1,∴y₁y₂=－x₁x₂.

由, 得2x²+2(b+1)x+b²+4b－4=0,

∴x₁+x₂=－(b+1),x₁·x₂=+2b－2,

y₁y₂=(x₁+b)(x₂+b)=x₁x₂+b(x₁+x₂)+b²=+2b－2－b(b+1)+b²=+b－2

∵y₁y₂=－x₁x₂       ∴+b－2=－(+2b－2)

即b²+3b－4=0.  ∴b=－4或b=1.

又Δ=4(b+1)²－8(b²+4b－4)=－4b²－24b+36=－4(b²+6b－9)

當b=－4時，Δ=－4×(16－24－9)>0;

當b=1時，Δ=－4×(1+6－9)>0

故存在這樣的直線l,它的方程是y=x－4或y=x+1,即x－y－4=0或x－y+1=0.

解析:

同答案