Question

如圖，已知圓柱形桶的底面半徑為6cm，高為2πcm，有一只螞蟻從桶外A點出發，經桶的表面通過上口爬行到桶內側CC₁的中點G吃糖，聰明的螞蟻爬行的最短距離是

3

5

π

cm．

Answer 1

分析：將圓柱的半個側面展開成平面圖，得到如圖的矩形ACC₁A₁，則螞蟻所走的路程為如圖的折線A-E-G，即AE+EG．作出G點關于A₁C₁的對稱點D，并連接AD，由平面幾何知識知：當E點與AD、A₁C₁的交點E₀重合時，AE+EG最小．由此結合題中數據即可得到聰明的螞蟻爬行的最短距離．

解答：解：將圓柱的半個側面展開成平面圖，得到如圖的矩形ACC₁A₁，
設螞蟻從A出發，爬到上底面圓上的E點，再爬到點G處吃到糖
它所走的路程為折線A-E-G，即線段AE與EG之和
為了求AE+EG的最小值，作出G點關于A₁C₁的對稱點D，
連接AD，設AD∩A₁C₁=E₀，則當E點與E₀重合時，AE+EG最小．
∵AC長等于圓柱底面圓周長的一半，
∴AC=

1

2

×（2π×6）=6π
而CD=

3

2

CC₁=3π，根據勾股定理，得
AD=

AC2+CD2

=

(6π)2+(3π)2

=3

5

π
即螞蟻爬行的最短距離是3

5

π
故答案為：3

5

π

點評：本題給出圓柱體，求螞蟻沿著側面爬行的最短距離，著重考查了利用平面展開的方法求旋轉體表面距離最小值的知識，屬于中檔題．