Question

（2011•重慶）已知sinα=

1

2

+cosα，且α∈（0，

π

2

），則

cos2α

sin(α- π 4 )

的值為

-

14

2

．

Answer 1

分析：由已知的等式變形后，記作①，利用同角三角函數間的基本關系列出關系式，記作②，再根據α為銳角，聯立①②求出sinα和cosα的值，進而利用二倍角的余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式分別求出所求式子的分子與分母，代入即可求出所求式子的值．

解答：解：由sinα=

1

2

+cosα，得到sinα-cosα=

1

2

①，
又sin²α+cos²α=1②，且α∈（0，

π

2

），
聯立①②解得：sinα=

7 +1

4

，cosα=

7 -1

4

，
∴cos2α=cos²α-sin²α=-

7

4

，sin（α-

π

4

）=

2

2

（sinα-cosα）=

2

4

，
則

cos2α

sin(α- π 4 )

=

- 7 4

2 4

=-

14

2

．
故答案為：-

14

2

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．