Question

已知函數R，且

（I）若能表示成一個奇函數和一個偶函數的和，求的解析式；

（II）命題P：函數在區間上是增函數；

命題Q：函數是減函數。

如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；

（III）在（II）的條件下，比較的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：

（1）將表示成奇函數和一個偶函數的和，分別求，所用知識僅為函數的奇偶性，但是函數將三個函數，的奇偶性綜合考察，出題者別具匠心，與以往單純考察單個函數的奇偶性有較大區別。（2）函數在區間上是增函數，只需要二次函數對稱軸≤即可，為一次函數，單調性只和系數相關，解答滿足和的參數范圍，然后按照真、假和假、真求a的并集即可。（3）將帶入，看似與無關，但結合第二步結果，將a的值換成發現左右恰好相等，可以考慮右邊定值，左邊是函數在臨界情況下的結果，研究左邊表達式在情況下的值域問題就可解決。

解答過程：（1）

 

解得……………………………………………4分

（2）在區間上是增函數，

解得

又由函數是減函數，得

∴命題P為真的條件是：

命題Q為真的條件是：

又∵命題P、Q有且僅有一個是真命題，…………………………………8分

（2）由（1）得

設函數

∴函數在區間上為增函數

又………………12分

考點：本題考查了函數奇偶性，含參二次函數和一次函數單調性，利用函數的導數求函數單調性以及邏輯問題。

點評：本題綜合程度較高，考察內容靈活多變，除了第二步為常規思路解答。第一和第三步都值得認真去研究它的方法和解題思路，本題作為壓軸題計算量不是很大，重要還是從本題中體現的方法值得深究。