Question

已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．

（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)垂直于點(diǎn)P，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取曲線(xiàn)上不同于的點(diǎn)，以為直徑作圓與相交另外一點(diǎn)，求該圓的面積最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用拋物線(xiàn)的定義“到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)的距離”來(lái)求；(Ⅱ) 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，聯(lián)立消元，設(shè)點(diǎn)代入化簡(jiǎn)，利用基本不等式求最值.

試題解析：（I）在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，∴| MP | = | M |

故動(dòng)點(diǎn)M到定直線(xiàn)的距離等于它到定點(diǎn)的距離

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為準(zhǔn)線(xiàn)，為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，      

所以點(diǎn)M的軌跡的方程為        

(II)因?yàn)橐設(shè)S為直徑的圓與相交于點(diǎn)R，

所以，即

設(shè)，，則

，，，

所以，即

∵，，∴     

 故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

當(dāng)時(shí)，，圓的直徑，

這時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)為．

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，基本不等式，坐標(biāo)表示等，考查了學(xué)生的綜合化簡(jiǎn)計(jì)算能力.