Question

設(shè)≥0，．

(1)令，討論在(0，+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

(2)求證：當(dāng)>1時(shí)，恒有>ln2一2ln+1．

Answer 1

解：(1)根據(jù)求導(dǎo)法則得．

    故，，

于是，．

列表如下：

	(0,2)	2	(2，+∞)
	－	0	+
		極小值F(2)

    故知F()在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，

    所以，在=2處取得極小值F(2)=2―21n2+2．

    (2)由≥0知，F(xiàn)()的極小值F(2)=2―21n2+2>0．

    于是由上表知，對(duì)一切∈(0，+∞)，恒有F()=>0．

    從而當(dāng)>0時(shí)，恒有>0，

    故在(0，+∞)上單調(diào)增加，

    所以當(dāng)>1時(shí)，>=0，

    即一1一ln²+2ln>0． 

    故當(dāng)>1時(shí)，恒有>ln²一2ln+1．