Question

某食品廠對生產的某種食品按行業標準分成五個不同等級，等級系數X依次為A，B，C，D，E．現從該種食品中隨機抽取20件樣品進行檢驗，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：

X	A	B	C	D	E
頻率	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）在所抽取的20件樣品中，等級系數為D的恰有3件，等級系數為E的恰有2件，求a，b，c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，將等級系數為D的3件樣品記為x₁，x₂，x₃，等級系數為E的2件樣品記為y₁，y₂，現從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂這5件樣品中一次性任取兩件（假定每件樣品被取出的可能性相同），試寫出所有可能的結果，并求取出的兩件樣品是同一等級的概率．

Answer 1

（Ⅰ）由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因為抽取的20件樣品中，等級系數為D的恰有3件，所以b=

3

20

=0.15．
等級系數為E的恰有2件，所以c=

2

20

=0.1．
從而a=0.35-b-c=0.1．
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．-----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，所有可能的結果為：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，y₁），（x₁，y₂），（x₂，x₃），（x₂，y₁）（x₃，y₂）
，（x₂，y₂），（x₃，y₁），（y₁，y₂），共計10個
設事件A表示“從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，其等級系數相等”，
則A包含的基本事件為：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₂，x₃），（y₁，y₂），共4個．
故所求的概率P(A)=

4

10

=0.4．---------------------------------------（12分）