Question

已知拋物線C₁、橢圓C₂和雙曲線C₃在x軸上有共同的焦點，且三條曲線都經過點M（1，2），C₁的頂點為坐標原點，C₂、C₃的對稱軸是坐標軸．
（1）求這三條曲線的方程
（2）已知動直線l過點P（3，0），交拋物線C₁于A、B兩點，問是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，把點M（1，2）代入拋物線的方程，求得拋物線的方程和焦點坐標，再把點M（1，2），代入橢圓和雙曲線的標準方程，即可求得結果；
（2）設AP的中點為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點，DE中點為H，根據垂徑定理即可得到方程|DH|2=|DC|2-|CH|2=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2=（a-2）x₁-a²+3a，探討該式何時是定值．

解答：解：（1）設拋物線的方程y²=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C₁方程y²=4x（2分）
橢圓C₂和雙曲線C₃焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1
對于橢圓C₂：2a=|MF1|+|MF2|=2+2

2

，a=1+

2

，b2=2+2

2

，
得C₂方程：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（4分）
對于雙曲線C₃：2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2，a=

2

-1，b2=2

2

-2，
得C₃方程：

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1（6分）
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），以AP為直徑的圓的圓心為(

x1+3

2

，

y1

2

)，
設存在符合條件的直線l′：x=n，圓心到l′的距離為d=|

x1+3

2

-n|，
所以l′被以AP為直徑的圓截得的弦長為2

( 1 2 |AP|)2-( x1+3 2 -n)2

=2

1 4 ((x1-3)2+y12)-( x1+3 2 -n)2

=2

-2x1+n(x1+3)-n2

=2

(n-2)x1+3n-n2

，（10分）
當n=2時，即l′方程x=2，弦長為定值2

2

（12分）

點評：此題是個難題．本題考查了橢圓與雙曲線拋物線的標準方程即簡單的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，