Question

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若AB=1，向量

m

=（sinA，cos2A），

n

=（4，1），當

m

•

n

取最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式右邊利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用誘導公式變形，根據sinA不為0，得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數．
（Ⅱ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用二次函數的性質，即可求出

m

•

n

 的最大值，以及此時sinA的值，得到A的度數，由AB及B的度數，求出AC的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，∵2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，解得cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）∵向量

m

=（sinA，cos2A），

n

=（4，1），
∴

m

•

n

=4sinA+cos2A=4sinA+1-2sin²A=-2（sinA-1）²+3，
∴當sinA=1時，

m

•

n

取得最大值，此時，A=

π

2

，B=

π

3

，AC=

3

，
故三角形ABC的面積S=

1

2

×AB×AC=

3

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，平面向量的數量積運算法則，二次函數的性質，以及特殊角
的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．