Question

設G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A(-1,0)、B(1，0),且=λ (λ∈R且λ≠0).

(1)求點C的軌跡E的方程；

(2)是否存在直線l，使l過點(0，1)并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足·=-2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(1)設C(x,y)，其中xy≠0.由=λ(λ∈R且λ≠0),知MG∥AB.設G(a,b),則M(0，b),∴x=3a,y=3b①.

∵M是不等邊△ABC的外心，∴|MA|=|MC|,∴=②,

    將①代入②化簡整理得x²+=1.所以點C的軌跡E的方程為x²+=1(xy≠0).

(2)假設存在直線l滿足條件，設直線l方程為y=kx+1,

    由消去y得(3+k²)x²+2kx-2=0.

∵直線l與曲線E交于P、Q兩點，∴Δ=4k²+8(3+k²)＞0.

    設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，

    則

∵·=-2,∴x₁x₂+y₁y₂=-2,

    即x₁x₂+(kx₁+1)(kx₂+1)=-2,

(1+k²)x₁x₂+k(x₁+x₂)+3=0,(1+k²)(-)+k(-)+3=0,解得k²=7,k=±.

    故存在直線l:y=±+1,使得·=-2.