Question

如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，且，
，，，點、、分別為、、的中點．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）連接，利用中位線得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）證法一是建立以點為原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明；證法二：先證明，于是得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到；證法三是，得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到；（3）解法一是建立以點為原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標系利用空間向量法求二面角的余弦值；解法二是過作交于點，過作交于，連接，先利用平面，于是說明為二面角的平面角，然后在直角，然后在直角中求的值.
（1）證明：連接，是的中點 ，過點，
為的中點，，
又面，面，平面；
（2）證法一：在直角中，，，，
棱柱的側棱與底面垂直，且，以點為原點，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系如圖示，則

，，，，，
，，
，；
證法二：連接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面，
平面，；
證法三：連接，在直角中，，，，
設，，，
，即，
，，且，平面,
，又，故平面，
平面，；
（3）解法一：棱柱的側棱與底面垂直，且，
以點為原點，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，

依題意得，，，，，，，
設面的一個法向量為，
由，得，令，得，
同理可得面的一個法向量為，
故二面角的平面角的余弦值為，
解法二：過作交于點，過作交于，連接，

平面底面，平面，
，平面，，
故為二面角的平面角，
在中，，，
，，
又，故，.