Question

給定方程：（）^x+sinx﹣1=0，下列命題中：
①該方程沒有小于0的實數解；
②該方程有無數個實數解；
③該方程在（﹣∞，0）內有且只有一個實數解；
④若x₀是該方程的實數解，則x₀＞﹣1．
則正確命題是　      　．

Answer 1

②③④

試題分析：對于①，若α是方程（）^x+sinx﹣1=0的一個解，
則滿足（）^α=1﹣sinα，當α為第三、四象限角時（）^α＞1，
此時α＜0，因此該方程存在小于0的實數解，得①不正確；
對于②，原方程等價于（）^x﹣1=﹣sinx，
當x≥0時，﹣1＜（）^x﹣1≤0，而函數y=﹣sinx的最小值為﹣1
且用無窮多個x滿足﹣sinx=﹣1，
因此函數y=（）^x﹣1與y=﹣sinx的圖象在[0，+∞）上有無窮多個交點
因此方程（）^x+sinx﹣1=0有無數個實數解，故②正確；
對于③，當x＜0時，
由于x≤﹣1時（）^x﹣1≥1，函數y=（）^x﹣1與y=﹣sinx的圖象不可能有交點
當﹣1＜x＜0時，存在唯一的x滿足（）^x=1﹣sinx，
因此該方程在（﹣∞，0）內有且只有一個實數解，得③正確；
對于④，由上面的分析知，
當x≤﹣1時（）^x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函數y=（）^x﹣1與y=﹣sinx的圖象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交點
因此只要x₀是該方程的實數解，則x₀＞﹣1．
點評：本題給出含有指數式和三角函數式的方程，討論方程解的情況．著重考查了指數函數的單調性、三角函數的周期性和有界性、函數的值域求法等知識，屬于中檔題