Question

如圖，分別是正三棱柱的棱、的中點(diǎn)，且棱，.
（1）求證：平面；
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求的長，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）不存在

解析試題分析：（1）連結(jié)交于F，連結(jié)DF，EF，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以EF平行且等于的一半，又因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，所以是平行四邊形，所以DF∥A₁E，所以平面；（2）在正三棱柱中建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在AA₁上存在M滿足條件，求出，設(shè)=()，用表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法求出二面角M-BC₁-B₁的大小的余弦值，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，若能解出則存在，否則不存在.
試題解析：【法一】（1）在線段上取中點(diǎn)，連結(jié)、.
則，且，∴是平行四邊形 3′
∴，又平面，平面，
∴平面. 5′
（2）由，，得平面.
過點(diǎn)作于，連結(jié).
則為二面角的平面角 8′
在中，由，得
邊上的高為，∴，又，
∴，∴. 11′
∴在棱上時(shí)，二面角總大于.
故棱上不存在使二面角的大小為的點(diǎn)． 12′
【法二】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、.
∴、、、