Question

已知函數

（1）當a＝2時，求函數y＝f(x)的圖象在x=0處的切線方程；

（2）判斷函數f(x)的單調性；

（3）求證：

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) 參考解析；（3）參考解析

【解析】

試題分析：(1)已知函數是一個 含對數與分式，以及復合函數，需要正確地對函數求導，因為函數在x=0處的切線方程，所以將x=0代入導函數，即可求出切線的斜率.再根據橫坐標為0，計算出縱坐標，根據點斜式即可寫出切線方程.

(2)需要判斷函數的單調性，要對函數求導，判斷導函數的值的正負，所以要根據參數的情況分類討論后作出判定.

（3)解法（一）令為特殊值，通過函數的單調性得到一個不等式成立，再將x轉化為數列中的n的相關的值，再利用一個不等式，從而得到結論.解法（二）根據結論構造函數，通過函數的最值證明恒成立，再將x轉化為n的表達式即可.

試題解析：（1）當時，，

∴，

∴，所以所求的切線的斜率為3.又∵，所以切點為. 故所求的切線方程為：.

（2）∵，

∴． ①當時，∵，∴； ７分

②當時，

由，得；由，得； 綜上，當時，函數在單調遞增；

當時，函數在單調遞減，在上單調遞增．

（3）方法一：由（2）可知，當時，在上單調遞增． ∴　當時，，即． 令（），則． 另一方面，∵，即,

∴　． ∴　（）． 方法二：構造函數， ∴， ∴當時,；

∴函數在單調遞增． ∴函數 ，即

∴，，即

令（），則有．

考點：1.函數的導數的幾何意義.2.函數的單調性.3.函數與數列的知識交匯.4.構造新函數的思想.5.運算能力.