Question

函數的定義域為（0，1]（a為實數）．
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）的值域；
（2）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，求a的取值范圍；
（3）討論函數y=f（x）在x∈（0，1]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a的值代入函數解析式，利用導數當分析函數的單調性，可求出函數的值域．
（2）求出導函數，令導函數大于等于0在定義域上恒成立，分離出a，構造函數，通過求函數的最小值，求出a的范圍．
（3）通過對a的討論，判斷出函數在（0，1）上的單調性，求出函數的最值，進而可得函數的值域．
解答：解：（1）當a=-1時，
令=0，則x=
∵x∈（0，]時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
x∈（，1]時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
∴當x=時，f（x）取最小值2，無最大值
∴函數y=f（x）的值域為（2，+∞）
（2）∵
若函數y=f（x）在定義域上是減函數，
則f′（x）＜0即a＜-2x²在定義域上恒成立
而-2x²∈（-2，0）
∴a≤-2
（3）當a≥0時，函數y=f（x）在（0.1]上單調增，無最小值，
當x=1時取得最大值2-a；
函數的值域是[2-a，+∞）
當-2＜a＜0時，函數y=f（x）在（ 0，]上單調減，在[，1]上單調增，無最大值，
當x=時取得最小值2
∴當-2＜a＜0時值域是[2，+∞）
點評：求函數的單調性常借助導數，當導函數大于0對應的區間是函數的單調遞增區間；當導函數小于0對應的區間是函數的單調遞減區間．求含參數的函數的性質問題時，一般要對參數討論．