Question

已知函數f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e為自然對數的底數），討論函數H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數；
（3）若函數y=f（x）的圖象上任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都滿足x1＜

1

k

＜x2（其中k是直線AB的斜率），則稱函數y=f（x）為優美函數，當a=0時，函數f（x）是否是優美函數，如果是，請證明，如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導函數f′（x）=

2ax2+1

x

，注意到定義域為（0，+∞），故解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0等價于解含參數的一元二次不等式，討論參數的范圍即可
（2）先將函數H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數問題，轉化為方程

lnx

x

=(x-e)2+a根的個數問題，進而轉化為函數?(x)=

lnx

x

與函數M（x）=（x-e）²+a的圖象交點個數問題，分別研究這兩個函數的性質特別是單調性和極值，即可討論出函數H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數
（3）當a=0時，f（x）=lnx，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，若f（x）是優美函數，則x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，即1-

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，故本題的關鍵是看上式是否成立，證明此不等式成立需利用換元法，并構造新函數，利用導數研究所構造函數的性質

解答：解：f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

(x＞0)
當a≥0時，f（x）的遞增區間是（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）的遞增區間是(0，

- 1 2a

)，遞減區間是[

- 1 2a

，+∞)；
（2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x³+2ex²-（a+e²）x
由H（x）=0得：

lnx

x

=(x-e)2+a
令?(x)=

lnx

x

，則?′(x)=

1-lnx

x2

當0＜x＜e時，?'（x）＞0，當x＞e時，?'（x）＜0
所以當x=e時，?（x）取最大值

1

e

，且當x→0時，?(x)=

lnx

x

→-∞
當x→+∞時，?(x)=

lnx

x

→0
令M（x）=（x-e）²+a
于是當a＜

1

e

時，H（x）有兩個零點；
當a=

1

e

時，H（x）有一個零點；
當a＞

1

e

時，H（x）沒有零點．
（3）當a=0時，f（x）=lnx   k=

lnx2-lnx1

x2-x1

若f（x）是優美函數，則x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，于是1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1 -1

＜

x2

x1

解得：1-

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1…、①
令t=

x2

x1

(t＞1)，則①可化為1-

1

t

＜lnt＜t-1
令F（t）=lnt-t+1，則F′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

＜0F（t）在（1，+∞）上遞減，當t=1時取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1
令G(t)=lnt+

1

t

-1，于是G′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0
當G（t）在（1，+∞）上遞增，當t=1時取最小值G（1）=0、G(t)=lnt+

1

t

-1＞G(1)=0ln

x2

x1

＞1-

x1

x2

于是①成立，所以x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2
即x1＜

1

k

＜x2
所以函數f（x）為優美函數．

點評：本題綜合考察了利用導數求函數單調區間的方法，利用導數研究函數的零點個數問題的方法，利用導數證明不等式的方法