Question

(本小題滿分13分) 設(shè)橢圓E中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為4,點M（2，）在橢圓上，。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)動直線L交橢圓E于A、B兩點，且，求△OAB的面積的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）S。

【解析】

試題分析：（1）因為橢圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b=4

故可求得b=2,a=2  橢圓E的方程為      ……2分

（2）設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），當(dāng)直線L斜率存在時設(shè)方程為，

解方程組得,即,

則△=,

即（*）……………………4分

,要使,需使,即,

所以, 即   ①………………………7分

將它代入（*）式可得……………………………8分

P到L的距離為

又

將及韋達定理代入可得……………………10分

當(dāng)時

由 故……………12分

當(dāng)時,

當(dāng)AB的斜率不存在時,  ,

綜上S……………………………13分

考點：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，常常運用韋達定理，本題屬于中檔題。