Question

如圖，已知三棱錐的側棱、、兩兩垂直，且，，是的中點.

（1）求點到面的距離；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）解法一是利用等體積法求出點到平面的距離，具體做法是：先利用、、兩兩垂直以及它們的長度計算出三棱錐的體積，然后將此三棱錐轉換成以點為頂點，以所在平面為底面的三棱錐通過體積來計算點到平面的距離；解法二是直接利用空間向量法求點到平面的距離；（2）解法一是通過三垂線法求二面角的正弦值，即在平面內作，垂足為點，連接、，證明，，從而得到為二面角的平面角，再選擇合適的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空間向量法求二面角的余弦值，進而求出它的正弦值.
試題解析：解法一：（1）如下圖所示，取的中點，連接、，

由于，，且，
平面，平面，平面，
平面，，
，為的中點，，
，平面，平面，平面，
平面，，
，且，，
為的中點，，
平面，平面，，，
，
而，，
設點到平面的距離為，由等體積法知，，
即，即，即點到平面的距離為；
（2）如下圖所示，過點在平面內作，垂足為點，連接，

，，，
平面，平面，平面，即平面，
平面，，又，，
平面，平面，平面，
平面，，
，，
，，，
同理可知，故二面角的平面角為，
，
在中，，
在中，，，，
由正弦定理得，，
即二面角的正弦值為；
解法二：（空間向量法）由于、、兩兩垂直，不妨以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

（1）由上圖知，，，，，
設平面的一個法向量為，，
，
，
，
令，可得平面的一個法向量為，而，
，，
設點到平面的距離為，則，
即點到平面的距離為；
（2）設平面的一個法向量為，，，
，
，
令，可得平面的一個法向量為，
，，，
設二面角的平面角為，則為銳角，
且，，
即二面角的正弦值為.