Question

12分）某城市有一塊不規則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經測量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．

(I)求AB的長度；
(Ⅱ)若建造環境標志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用最低，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）A、B兩點的距離為14.（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，從而得出結論．
（Ⅱ）小李的設計符合要求，因為由條件可得 S_△ABD＞S_△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等邊三角形．由此求得S_△ABC的值，再乘以5000，即得所求．
解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得
  ①
在中，由余弦定理及整理得
    ②………4分
由①②得：
整理可得 ，……………6分
又為三角形的內角，所以,
又,,所以是等邊三角形，
故，即A、B兩點的距離為14.……………8分
（Ⅱ）小李的設計符合要求.理由如下：


因為…………12分
所以
考點：本試題主要考查了余弦定理的應用，考查三角形面積的計算，考查利用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題
點評：解決該試題的關鍵是能靈活運用余弦定理得到cosD的值。