Question

（理）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂是橢圓C的兩個焦點，若點P 是橢圓上一點，滿足那么|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直線PF₁的距離等于橢圓的短軸長，則橢圓C的離心率為

5

7

．

Answer 1

分析：如圖，點P在橢圓上，由題意知△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．作出底邊上的高F₂D，可得Rt△DF₁F₂中，|DF₁|=a-c，|DF₂|=2b，|F₁F₂|=2c，利用勾股定理列式，化簡整理即可得到a與c的比值，結合橢圓離心率的公式，可得橢圓C的離心率．

解答：解：∵點P在橢圓C上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c
過點F₂作F₂D⊥PF₁于D點，則F₂到直線PF₁的距離為|DF₂|=2b，
因為|PF₂|=|F₁F₂|，可得D是PF₁的中點，所以DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，即（a-c）²+（2b）²=（2c）²
整理得：5a²-2ac-7c²=0，即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不為0，∴5a-7c=0，得c=

5

7

a
因此橢圓C的離心率為e=

c

a

=

5

7

故答案為：

5

7

點評：本題給出橢圓上一點與橢圓兩個焦點構成以焦距為一腰的等腰三角形，并且等腰三角形的高等于橢圓的短軸長，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標準方程與基本概念，屬于基礎題．