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1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
與2
n
的大小關系為
 
．（n∈N*）
分析：將
1
n
變形為
2
2
n
，然后利用放縮變換構造
2
2
n
＜
2
n
+
n-1
，進而利用分母有理化及裂項相消法求解．
解答：解：∵
1
n
=
2
2
n
＜
2
n
+
n-1
=
2(
n
-
n-1
)
(
n
+
n-1
)(
n
-
n-1
)
=2（
n
-
n-1
），
∴1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2[（
1
-
0
）+(
2
-
1
)+(
3
-
2
)+…+（
n
-
n-1
）]=2
n
，
故答案為1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
點評：本題考查了不等式的有關知識，運用了放縮法、分母有理化及裂項相消法等數學方法，難度一般．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

用數學歸納法證明等式：n∈N，n≥1，1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

用數學歸納法證明1+
1
2
+
1
3
++
1
2n-1
＜n(n∈N+，n＞1)，第二步證明從k到k+1，左端增加的項數為（　　）
A、2k-1
B、2k
C、2k-1
D、2k+1

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科目：高中數學 來源： 題型：

執行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列不等式：1+
1
2
+
1
3
＞1，1+
1
2
+…+
1
7
＞
3
2
，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
15
＞2，…則由以上不等式推測到一個一般的結論為
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＞
n
2
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＞
n
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

當n∈N，n≥2時，求證：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
(n∈N)．

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同步練習冊答案