Question

（09年宜昌一中10月月考文）（12分）

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱長與底面三角形的各邊長都等于a，點D為BC的中點．求證：

（1）平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；

（2）A₁B∥平面AC₁D．

（3）求二面角C₁－DA－C.

Answer 1

解析：證明：（1）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側棱BB₁⊥平面ABC．

又BB₁平面BCC₁B₁，∴側面BCC₁B₁⊥平面ABC．

在正三角形ABC中，D為BC的中點，∴AD⊥BC．

由面面垂直的性質定理，得AD⊥平面BCC₁B₁．

又AD平面AC₁D，

∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁．

   （2）連A₁C交AC₁于點O，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

O是A₁C的中點．又D是BC的中點，連OD，由三角形

中位線定理，得A₁B₁∥OD．

∵OD平面AC₁D，A₁B平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．

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