Question

已知函數f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1．
（1）若x＞-1，求函數y=

f(x)

g(x)

的最小值；
（2）若不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）y=

f(x)

g(x)

=

(x+5)(x+2)

x+1

，設x+1=t，由x＞-1，知t＞0，由此利用均值定理能求出y的最小值．
（2）f（x）＞ag（x），即x²+（7-a）x+10-a＞0，設h（x）=x²+（7-a）x+10-a，則不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等價于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1，
∴y=

f(x)

g(x)

=

(x+5)(x+2)

x+1

，
設x+1=t，∵x＞-1，∴t＞0
原式化為y=

(t-1)2+7(t-1)+10

t

=

t2+5t+4

t

=t+

4

t

+5≥2

t• 4 t

+5=9
當且僅當t=

4

t

，即t=2時取等號，
∴當x=1時y取最小值9． …（6分）
（2）f（x）＞ag（x），即x²+（7-a）x+10-a＞0，
設h（x）=x²+（7-a）x+10-a，
則不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等價于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．
等價于

a-7 2 ＜-2 h(-2)=a＞0

或

a-7 2 ＞2 h(2)=28-3a＞0

或

-2≤ a-7 2 ≤2 △=(7-a)2-4(10-a)＜0

解得0＜a＜9，
故a的取值范圍為（0，9）．…（12分）

點評：本題考查函數的最小值的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理、分類討論思想、等價轉化思想的合理運用．