Question

（本小題滿分12分）
如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD//CD， ，FC 平面ABCD， AE BD，CB =CD=-CF．
 
(Ⅰ)求證：平面ABCD 平面AED；
(Ⅱ)直線AF與面BDF所成角的余弦值

Answer 1

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)

解析試題分析：(Ⅰ)通過計算可證得AD⊥BD，又因為AE⊥BD，由線面垂直的判定定理得，BD⊥面ADE，由面面垂直的判定定理得，面ADE⊥面ABCD； (Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD，同理可證AC⊥BC，因為CF⊥面ABCD，所以以CA，CB，CF分別為建立空間直角坐標系，設BC=1，求出A、B、D，F點的坐標，求出的坐標和平面BDF法向量的坐標，利用空間向量夾角公式計算出這兩個向量夾角的余弦值，利用同腳三角函數基本關系求出向量夾角的正弦值即為線面夾角的余弦值．
試題解析：(Ⅰ)∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠ADC=∠BCD=120°，
又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，
∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．
(Ⅱ)連結AC，由(Ⅰ)知AD⊥BD，∴AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF兩兩垂直，
以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，設CB=1，
則A（，0，0），B（0，1，0），D（，，0），F（0，0，1），
∴=（，，0），=＝(0，?1，1)，=（-，0，1），
設平面BDF的一個法向量為＝(x，y，z)，則，取z=1，則=（，1，1），
所以=，∴直線AF與面BDF所成角的余弦值為． （12分）
考點：空間線面垂直的判定，空間面面垂直的判定，線面角的計算，推理論證能力，運算求解能力