Question

已知x＞0，y＞0，x與y的等差中項為

1

2

，且

a

x

+

1

y

的最小值是9，則正數a的值是（　　）

A．1

B．2

C．4

D．8

Answer 1

分析：先根據x與y的等差中項為

1

2

得到x+y=1，然后將

a

x

+

1

y

轉化成（

a

x

+

1

y

）（x+y），拆開利用基本不等式求出最小值，建立等式，解之即可．

解答：解：∵x與y的等差中項為

1

2

，
∴x+y=1
∴

a

x

+

1

y

=（

a

x

+

1

y

）（x+y）=a+1+

ay

x

+

x

y

∵x＞0，y＞0，a為正數
∴

ay

x

+

x

y

≥2

ay x × x y

=2

a

，當且僅當

ay

x

=

x

y

時取等號
∵

a

x

+

1

y

的最小值是9
∴a+1+

ay

x

+

x

y

≥a+1+2

a

=9
即a+2

a

-8=0
解得a=4
故選C．

點評：本題主要考查了等差數列的性質，以及利用基本不等式求最值，不等式適用條件：一正、二定、三相等，屬于中檔題．