Question

設P₁（x₁,y₁）, P₁（x₂,y₂）,…, P_n（x_n,y_n）（n≥3,n∈N） 是二次曲線C上的點, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²構成了一個公差為d（d≠0） 的等差數列, 其中O是坐標原點. 記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

（1）若C的方程為－y²=1,n=3. 點P₁（3,0） 及S₃=162, 求點P₃的坐標；（只需寫出一個）

（2）若C的方程為y²=2px（p≠0）. 點P₁（0,0）, 對于給定的自然數n, 證明：（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²成等差數列；

（3）若C的方程為（a>b>0）. 點P₁（a,0）, 對于給定的自然數n, 當公差d變化時, 求S_n的最小值.

符號意義	本試卷所用符號	等同于《實驗教材》符號
向量坐標	={x,y}	=（x,y）
正切	tg	tan

Answer 1

解：（1） a₁=²=9,由S₃=（a₁+a₃）=162,得a₃=³=99.

由	－y2=1	,得	x=90
	x+y=99		y=9

     ∴點P₃的坐標可以為（3,3）.

（2）對每個自然數k,1≤k≤n,由題意²=（k－1）d,及

y=2pxk	,得x+2pxk=（k－1）d
x+y=（k－1）d

即（x_k+p）²=p²+（k－1）d,

   ∴（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²是首項為p²,公差為d的等差數列.

 （3） 解法一：原點O到二次曲線C:（a>b>0）上各點的最小距離為b,最大距離為a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+（n－1）d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0）上遞增,

  故S_n的最小值為na²+?=.

  解法二：對每個自然數k（2≤k≤n）,

        

由	x+y=a2+（k－1）d	,解得y=
	+=1

∵0< y≤b²,得≤d<0     ∴≤d<0    以下與解法一相同.