Question

已知拋物線y²=4x與直線y=2x+b相交于A，B兩點，|AB|=3

5

．
（1）求b的值；
（2）設P 是x軸上的一點，當△PAB的面積為39時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可求|AB|，即可得到結論；
（2）求出P到AB的距離，利用△PAB的面積為39，建立方程，即可求點P的坐標．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由拋物線y²=4x與直線y=2x+b，可得4x²+4（b-1）x+b²=0，
△=16（b-1）²-16b²＞0，∴b＜

1

2

．
又由韋達定理有x₁+x₂=1-b，x₁x₂=

b2

4

，
∴|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5(1-2b)

，
即

5(1-2b)

=3

5

，∴b=-4．
（2）設x軸上點P（x，0），P到AB的距離為d，則
d=

|2x-0-4|

5

=

|2x-4|

5

，
∴S_△PBC=

1

2

•3

5

•

|2x-4|

5

=39，
∴|2x-4|=26，
∴x=15或x=-11，
∴P（15，0）或（-11，0）．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，考查三角形面積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．