Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm現有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發，其中點P以1cm/s的速度，沿AC向終點C移動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C移動．過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ．設動點運動時間為x秒．
（1）用含x的代數式表示AE、DE的長度；
（2）當點Q在BD（不包括點B、D）上移動時，
設△EDQ的面積為y（cm²），求y與時間x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當x為何值時，△EDQ為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）通過△AEP∽△ADC，列出比例關系，即可用含x的代數式表示AE、DE的長度；
（2）Q在BD上運動x秒后，求出DQ、CP，即可表示y與時間x的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）通過∠EQP=90°，∠QED=90°，分別通過三角形相似，列出比例關系，求出x的值，說明△EDQ為直角三角形．

解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC，
∴

EA

AD

=

AP

AC

即

EA

5

=

x

4

，∴EA=

5

4

x，DE=5-

5

4

x…（3分）
（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，
當點Q在BD上運動x秒后，DQ=2-1.25x，
則y=

1

2

×DQ×CP=

1

2

(4-x)(2-1.25x)=

5

8

 x2-

7

2

x+4…（6分）
即y與x的函數解析式為：y=

5

8

x2-

7

2

x+4，其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6．
（3）分兩種情況討論：
①當∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4-x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，DQ=1.25x-2
即

4-x

4

=

1.25x-2

3

…解得x=2.5…（9分）

②當∠QED=90°時，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴

DQ

DA

=

Rt△EDQ斜邊上的高

Rt△CDA斜邊上的高

，
Rt△EDQ斜邊上的高：4-x，
Rt△CDA斜邊上的高為：

12

5

．

∴

1.25x-2

5

=

5(4-x)

12

，
解得x=3.1．
綜上所述，當x為2.5秒或3.1秒時，△EDQ為直角三角形．…（12分）

點評：本題是中檔題，借助三角形考查函數的應用，以及三角形相似的性質，注意分類討論思想的應用，考查計算能力．