Question

已知橢圓 經過點其離心率為.

   （Ⅰ）求橢圓的方程；

(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點.求的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得，所以     ① ……………1分

   又點在橢圓上，所以                ② ……………2分

 由①②解之，得.                               

 故橢圓的方程為.                                ……………5分

  (Ⅱ) 當時，在橢圓上，解得，所以.   ……6分

當時，則由    

消化簡整理得：，

    ③      ……………8分

設點的坐標分別為，則

.   ……………9分

   由于點在橢圓上，所以 .                     ……………10分

   從而，化簡得，經檢驗滿足③式.

 ………11分

   又

        

                               ………………………12分

    因為，得，有，

故.                                ………………………13分

       綜上，所求的取值范圍是.              ………………………14分

(Ⅱ)另解：設點的坐標分別為，

由在橢圓上，可得             ………………………6分

①—②整理得  ………………………7分

由已知可得，所以         ……………………8分

由已知當 ,即 ⑥           ………………………9分

把④⑤⑥代入③整理得                       ………………………10分

與聯立消整理得           ……………………11分

由得，

所以   ……………………12分

因為，得，有，

故.                                  ………………………13分

所求的取值范圍是.                           ………………………14分