Question

已知函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x³+6x+12，直線l：y=kx+9，又f′（-1）=0
（1）求函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11在區間（-2，3）上的極值；
（2）是否存在k的值，使直線l既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線，如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，由f'（-1）=0，可求a，代入可求導數的符號，進而可判斷函數的單調區間，得到極值；
（2）由直線l：y=kx+9過定點（0，9），由導數的幾何意義可求得g（x）切線方程，然后又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12可得x=0或x=1，同理可求f（x）的切線方程，進而可確定公切線．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+6x-6a，由f'（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11．
令f'（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2
當x變化時，f'（x），f（x）在區間（-2，3）上的變化情況如下表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	-18	單調遞增	9	單調遞減

從上表可知，當x=-1時，f（x）在區間（-2，3）上有極小值，極小值為-18，
當x=2時，f（x）在區間（-2，3）上有極大值，極大值為9；
（2）∵直線m恒過點（0，9）．
先求直線m是y=g（x） 的切線．設切點為(x0，3x02+6x0+12)，
∵g'（x₀）=6x₀+6．
∴切線方程為y-(3x02 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，
將點（0，9）代入得x₀=±1．
當x₀=-1時，切線方程為y=9； 當x₀=1時，切線方程為y=12x+9．
由f'（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
當x=-1時，y=f（x）的切線y=-18，
當x=2時，y=f（x）的切線方程為y=9，
∴y=9是公切線，
又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，
當x=0時y=f（x）的切線為y=12x-11；
當x=1時y=f（x）的切線為y=12x-10，
∴y=12x+9不是公切線．
綜上所述 k=0時y=9是兩曲線的公切線．

點評：本題主要考查了函數的導數的幾何意義：導數在某點的導數值即為改點的切線的斜率，函數的導數在函數的單調性、函數的極值求解中的應用．屬于函數的導數知識的綜合應用．