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已知圓問在圓C上是否存在兩點A,B關(guān)于直線對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程，若不存在，說明理由.

 

【答案】

存在滿足條件的直線

【解析】

試題分析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，對稱性問題，屬探索性題型.由  A,B關(guān)于直線對稱，求出直線的斜率，假設(shè)直線的方程聯(lián)立方程組，在根據(jù)AB為直徑的圓經(jīng)過原點到到，即，解方程可求的解結(jié)論.

試題解析：存在滿足2條條件的直線.

圓，，設(shè)，，

直線過，而點在圓的內(nèi)部，故直線與圓恒相交，

又直線垂直平分，直線經(jīng)過圓心，，即，

，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得

，，，

，

即，由，則

即，解得或.

直線的方程為或.

故存在2條滿足條件的直線.

考點：直線與圓的位置關(guān)系.對稱性問題.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是直角坐標平面內(nèi)的動點，點P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點F（-1，0）的距離為d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B（點A或B不在x軸上），分別過A、B點作直線l1：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），問是否存在實數(shù)λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
進一步思考問題：若上述問題中直線l1：x=-
a2
c
、點F（-c，0）、曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，則使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不變．請給出你的判斷
 
 （填寫“不正確”或“正確”）（限于時間，這里不需要舉反例，或證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年江西省南昌市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點P是圓O：x2+y2=3上動點，以點P為切點的切線與x軸相交于點Q，直線OP與直線x=1相交于點N，若動點M滿足：，記動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（2，0）的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A，B，設(shè)，問在x軸上是否存在定點E，使得？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江西省南昌市高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點P是圓O：x2+y2=3上動點，以點P為切點的切線與x軸相交于點Q，直線OP與直線x=1相交于點N，若動點M滿足：，記動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（2，0）的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A，B，設(shè)，問在x軸上是否存在定點E，使得？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年江西省上饒市萬年中學高考數(shù)學七模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點P是圓O：x2+y2=3上動點，以點P為切點的切線與x軸相交于點Q，直線OP與直線x=1相交于點N，若動點M滿足：，記動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（2，0）的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A，B，設(shè)，問在x軸上是否存在定點E，使得？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．

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