Question

（2013•海淀區一模）函數f（x）=

1

3

x³-kx，其中實數k為常數．
（I） 當k=4時，求函數的單調區間；
（II） 若曲線y=f（x）與直線y=k只有一個交點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求原函數的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可；
（II）將題中條件：“函數f（x）的圖象與直線y=k只有一個公共點，”等價于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個零點”，利用導數求得原函數的極值，最后要使g（x）的其圖象和x軸只有一個交點，得到關于k的不等關系，從而求實數k的取值范圍．

解答：解：（I）因為f′（x）=x²-k…（2分）
當k=4時，f′（x）=x²-4，令f′（x）=x²-4=0，所以x=-2或x=2
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

…（4分）
所以f（x）的單調遞增區間是（-∞，-2），（2，+∞）
單調遞減區間是（-2，2）…（6分）
（II）令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個零點…（7分）
因為g′（x）=f′（x）=x²-k
當k=0時，g（x）=x³，所以g（x）只有一個零點0                …（8分）
當k＜0時，g′（x）=x²-k＞0對x∈R成立，
所以g（x）單調遞增，所以g（x）只有一個零點…（9分）
當k＞0時，令g′（x）=f′（x）=x²-k
=0，解得x=

k

或x=-

k

…（10分）
所以情況如下表：

x	（-∞，- k ）	- k	（- k ， k ）	k	（ k ，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（x）有且僅有一個零點等價于g（-

k

）＜0…（11分）
即g（-

k

）=

2

3

k

k

＜0，解得0＜k＜

9

4

…（12分） 
綜上所述，k的取值范圍是k＜

9

4

…（13分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在極值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉化思想．