Question

頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過A₀（1，1），過A₀作拋物  線的切線交x軸于B₁，過B₁點作x軸的垂線交拋物線于A₁，過A₁作拋物線的切線交x軸于B₂，…，過A_n（x_n，y_n）作拋物線的切線交x軸于B _n+1（x _n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通項公式；
（2）設a_n=+，數列{a_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＞2n﹣．
（3）設b_n=1﹣log₂y_n，若對任意正整數n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知得拋物線方程為y=x²，y'=2x，

則設過點A_n（x_n，y_n）的切線為y﹣x_n²=2x_n（x﹣x_n），
令y=0，x=，故x _n﹣1=，
又x₀=1，∴x_n=，y_n=，
（2）證明：由（1）知x_n=，
所以a_n=+=+=2﹣（﹣），
由于＜，＞，
得﹣＜﹣，
∴a_n=2﹣（﹣）＞2﹣（﹣），
從而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
                                         =2n﹣（）＞2n﹣，
即T_n＞2n﹣，
（3）由于y_n=，故b_n=2n+1，對于任意正整數n，
不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，
a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，
設f（n）=（1+）（1+）…（1+），
∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），
=×（1+）=×==＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）為遞增，
∴f（n）_min=f（1）=×=，
∴0＜a≤．