Question

已知多面體中，平面，平面，，，為的中點.

（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值的大小.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）直線與平面所成角的余弦值為.

試題分析：（1）取的中點，連接、，證明平面，進而得到；（2）法一是利用四邊形為平行四邊形得到，于是得到點和點到平面的距離相等，證明平面，由于點為的中點，由中位線原理得到點到平面的距離為線段長度的一半，于是計算出點到平面的距離，根據直線與平面所成角的原理計算出直線與平面所成角的正弦值，進一步求出該角的余弦值；法二是分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，再根據同角三角函數的平方關系求出這個角的余弦值.
試題解析：（1）如下圖所示，取的中點，連接、、，

、分別為、的中點，則，
由于平面，平面，，
又，，，，所以，平面，
平面，，
，且點為的中點，所以，
，平面，
平面，；
（2）法一：由（1）知，故四邊形為平行四邊形，，
故點到平面的距離等于點到平面的距離，如下圖所示，連接、，
取的中點，連接，

由于平面，且平面，，
，
同理，，
因為點為的中點，，
由于，故為等邊三角形，
為的中點，，，
由于四邊形為平行四邊形，所以，，，
，點為的中點，，
因為，平面，
、分別為、的中點，，平面，
且，故點到平面的距離為，
設直線與平面所成的角為，則，
，故直線與平面所成角的余弦值為；
法二：分別以、、為、、軸建立如圖空間直角坐標系，

則，，，，，，
設平面的法向量為，則，
設，則，，
設直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的余弦值為；