Question

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，△PBC為正三角形，PA⊥底面ABCD，其三視圖如圖所示，俯視圖是直角梯形．

(1)求正視圖的面積；

(2)求四棱錐P－ABCD的體積．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)如圖所示，過A作AE∥CD交BC于E，聯結PE.根據三視圖可知，E是BC的中點，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，

又∵△PBC為正三角形，

∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC.

∴PE2＝PC2－CE2＝3.

∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，

∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝，

∴正視圖的面積為S＝×2×＝.

(2)由(1)可知，四棱錐P－ABCD的高PA＝，

底面積為S＝·CD＝×1＝

∴四棱錐P－ABCD的體積V四棱錐P－ABCD＝S·PA＝××＝.