Question

（2013•荊門模擬）如圖，已知直線OP₁，OP₂為雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線，△P₁OP₂的面積為

27

4

，在雙曲線E上存在點P為線段P₁P₂的一個三等分點，且雙曲線E的離心率為

13

2

．
（1）若P₁、P₂點的橫坐標分別為x₁、x₂，則x₁、x₂之間滿足怎樣的關系？并證明你的結論；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）設雙曲線E上的動點M，兩焦點F₁、F₂，若∠F₁MF₂為鈍角，求M點橫坐標x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的離心率，結合a²+b²=c²得到a，b的關系，從而求出雙曲線的漸近線方程，進一步求出兩漸近線夾角的正弦值，由△P₁OP₂的面積為

27

4

列式得到P₁、P₂點的橫坐標x₁、x₂之間的關系；
（2）設出雙曲線上一點P，由P為線段P₁P₂的一個三等分點得到P的坐標與P₁、P₂點的坐標的關系，結合（1）中求出的x₁、x₂之間的關系得到P的橫縱坐標的關系，即雙曲線E的方程；
（3）設出M點的坐標，把縱坐標用橫坐標表示，由向量

MF1

，

MF2

的數量積小于0求解M點橫坐標x₀的取值范圍．

解答：解：（1）雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

c

a

=

13

2

，
∴

c2

a2

=

13

4

，即

a2+b2

a2

=

13

4

，∴

b2

a2

=

9

4

，∴漸近線方程為y=±

3

2

x，
則P₁（x₁，

3

2

x₁），P₂（x₂，-

3

2

x₂）．
設漸近線y=

3

2

x的傾斜角為θ，則tanθ=

3

2

．
∴sin2θ=

2tanθ

1+tan2θ

=

2× 3 2

1+ 9 4

=

12

13

，
∴S△P1OP2=

27

4

=

1

2

|OP₁||OP₂|sin2θ=

1

2

x 2 1 + 9 4 x 2 1

x 2 2 + 9 4 x 2 2

•

12

13

，
∴x₁•x₂=

9

2

；
（2）不妨設P分

P1P2

所成的比為λ=2，雙曲線上點P（x，y），則
x=

x1+2x2

3

，y=

y1+2y2

3

=

x1-2x2

2

．
∴x₁+2x₂=3x，x₁-2x₂=2y．
∴（3x）²-（2y）²=(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=8x₁x₂=36，
∴

x2

4

-

y2

9

=1．即為雙曲線E的方程；
（3）由（2）知C=

13

，∴F₁（-

13

，0），F₂（

13

，0），
設M（x₀，y₀），則y02=

9

4

x02-9，

MF1

=（-

13

-x₀，-y₀），

MF2

=（

13

-x₀，-y₀），
∴

MF1

•

MF2

=x02-13+y02=

13

4

x02-22．
若∠F₁MF₂為鈍角，則

13

4

x02-22＜0，
∴|x₀|＜

2

13

286

，又|x₀|＞2，
∴x₀的范圍為（-

2

13

286

，-2）∪（2，

2

13

286

）．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，解答（1）的方法是運用△P₁OP₂的面積找關系式，其中涉及到利用切函數表示倍角的弦函數，學生思維有一定難度，求解（2）時用到了定比分點公式，尋找P點坐標滿足的條件思維跨度較大．該題屬于難度較大的題目．