Question

已知橢圓的焦距為，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，為坐標原點.
（1）求橢圓的方程.
（2）設斜率為的直線與相交于、兩點，記面積的最大值為，證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用題干中的已知條件分別求出、、，從而寫出橢圓的方程；（2）設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，借助韋達定理求出弦長，并求出原點到直線的距離，然后以為底邊，為高計算的面積，利用基本不等式驗證時和時的最大面積與，從而證明題中的結論.
試題解析：（1）由題意，得橢圓的半焦距，右焦點，上頂點，
所以直線的斜率為，
解得，
由，得，
所以橢圓W的方程為；
（2）設直線的方程為，其中或，，.
由方程組得，
所以，（*）
由韋達定理，得，.
所以.
因為原點到直線的距離，
所以，
當時，因為，
所以當時，的最大值，
驗證知（*）成立；
當時，因為，
所以當時，的最大值；
驗證知（*）成立.
所以.
注：本題中對于任意給定的，的面積的最大值都是.
考點：1.橢圓的方程；2.弦長公式；2.點到直線的距離；4.基本不等式