Question

函數(shù)f(x)=

1-x

+

x+3

-1的值域是（　　）

• A．[-3，1]
• B．[-1，+∞）
• C．[2，2

  2

  ]
• D．[1，2

  2

  -1]

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的解析式我們根據(jù)(

1-x)

2+(

x+3

)2=4，結(jié)合根式的非負(fù)性，我們可設(shè)

1-x

=2sinα，

x+3

=2cosα（α∈[0，

π

2

]），進(jìn)而利用和差角公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵(

1-x)

2+(

x+3

)2=4，
∴令

1-x

=2sinα，

x+3

=2cosα（α∈[0，

π

2

]），
∴y=2sinα+2cosα-1
=2

2

sin（α+

π

4

）-1，α∈[0，

π

2

]
∵α+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴y∈[1，2

2

-1]
故選D．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的值域，三角換元法，和差角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析，利用三角換元法，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，是解答本題的關(guān)鍵．