Question

已知橢圓C中心在坐標原點，離心率為

2

2

，左焦點為F₁（-1，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過左焦點F₁的直線l₁，l₂分別與橢圓相交于P、Q和M、N，若

PQ

•

MN

=0，試用
直線l₁的斜率k（k≠0）表示四邊形NQMP的面積S，求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1由題意可得：c=1，

c

a

=

2

2

，從而可求橢圓的方程
（II）由題意知PQ與MN垂直且相交于點F₁，設PQ的方程為：y=k（x+1）
聯立

y=k(x+1) x2 2 + y2=1

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，   x1x2=

2k2-2

1+2k2

，分別求出MN，PQ，代入到三角形的面積公式，結合基本不等式可求面積的最小值

解答：解：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）則a²=b²+c²
由題意可得：c=1，

c

a

=

2

2

∴a=

2

，b=1
∴橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1
（II）由題意知PQ與MN垂直且相交于點F₁，設PQ的方程為：y=k（x+1）

y=k(x+1) x2 2 + y2=1

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，   x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴PQ=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

•

1+k2

1+2k2

MN=2

2

•

1+k2

k2+2

∴S△PMQ=

1

2

PQ•MN=

4(1+k2)2

(1+2k2)(2+k2)

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

當且僅當k²=1時取等號
∴四邊形的面積S的最小值為

16

9

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系的求解，解題的一般方法是聯立方程，根據方程的性質進行求解，還要注意基本不等式在求解最小值中的應用．