Question

（2013•溫州二模）如圖．直線l：y=kx+1與橢圓C₁：

x2

16

+

y2

4

=1交于A，C兩點，A．C在x軸兩側，B，
D是圓C₂：x²+y²=16上的兩點．且A與B．C與D的橫坐標相同．縱坐標同號．
（I）求證：點B縱坐標是點A縱坐標的2倍，并計算||AB|-|CD||的取值范圍；
（II）試問直線BD是否經過一個定點？若是，求出定點的坐標：若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）設A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），分別代入橢圓、圓的方程可得

x12+4y12=16 x12+y22=16

，消掉x₁得y22=4y12，由y₁，y₂同號得y₂=2y₁，設C（x₃，y₃），D（x₃，y₄），同理可得y₄=2y₃，聯立直線與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由A、C在x軸的兩側，得y₁y₃＜0，代入韋達定理可求得k²范圍，而||AB|-|CD||=||y₁|-|y₃||=|y₁+y₃|=|k（x₁+x₃）+2|，再由韋達定理及k²范圍即可求得答案；
（II）由斜率公式求出直線BD的斜率，由點斜式寫出直線BD方程，再由點A在直線l上可得直線BD方程，從而求得其所過定點．

解答：（I）證明：設A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），
根據題意得：

x12+4y12=16 x12+y22=16

⇒y22=4y12，
∵y₁，y₂同號，∴y₂=2y₁，
設C（x₃，y₃），D（x₃，y₄），同理可得y₄=2y₃，
∴|AB|=|y₁|，|CD|=|y₃|，
由

x2+4y2=16 y=kx+1

⇒（4k²+1）x²+8kx-12=0，△＞0恒成立，
則x1+x3=

-8k

4k2+1

，x1x3=

-12

4k2+1

，
∵A、C在x軸的兩側，∴y₁y₃＜0，
∴（kx₁+1）（kx₃+1）=k²x₁x₃+k（x₁+x₃）+1=

1-16k2

4k2+1

＜0，
∴k2＞

1

16

，
∴||AB|-|CD||=||y₁|-|y₃||=|y₁+y₃|=|k（x₁+x₃）+2|=

2

4k2+1

∈（0，

8

5

）；
（II）解：∵直線BD的斜率k′=

2y3-2y1

x3-x1

=2k，
∴直線BD的方程為y=2k（x-x₁）+2y₁=2kx-2（kx₁-y₁），
∵y₁=kx₁+1，∴直線BD的方程為y=2kx+2，
∴直線BD過定點（0，2）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、兩點間的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，本題中多次用到韋達定理，應熟練掌握．