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已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a＞0)是奇函數，且當x＞0時，f（x）有最小值2
2
，求f（x）的表達式．
分析：利用奇函數的性質：f（x）+f（-x）=0可求得b，c，再利用基本不等式可求得f（x）的最小值，令其等于2
2
可求a．
解答：解：∵f（x）是奇函數，∴f（x）+f（-x）=0，
即
ax2+bx+1
x+c
+
a(-x)2-bx+1
-x+c
=0，
∴
ax2+bx+1
x+c
-
ax2-bx+1
x-c
=0，化簡可得（b-ac）x2=c，
則b-ac=0，且c=0，
∴b=c=0，
則f（x）=
ax2+1
x
=ax+
1
x
≥2
a
，當且僅當ax=
1
x
時取等號，
又x＞0時，f（x）有最小值2
2
，
∴2
a
=2
2
，解得a=2，
∴f(x)=
2x2+1
x
．
點評：本題考查函數奇偶性的性質、基本不等式求函數的最值，考查學生解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
為奇函數（a，b是常數），且函數f（x）的圖象過點(1，
1
3
)
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，求數列{an2}的通項公式；
（3）已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
，設Sn為bn的前n項和，證明：
1
6
≤Sn＜
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
（a，b為常數）為奇函數，且過點(1，
1
3
)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，證明：數列{
1
a
2
n
-2}是等比數列；
（3）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn為{bn}的前n項和，求使Sn＞
31
8
成立的最小n值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，f(2)=-
5
3
．
（1）求a，b的值；
（2）請用函數單調性的定義說明：f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）求f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，且f(c)=0,當0＜x＜c時，f(x)＞0.

（1）求證：＞c;

（2）求證：-2＜b＜-1;

（3）當c＞1,t＞0時，求證：++＞0.

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