Question

設函數.
（1）求函數的單調區間
（2）若函數有兩個零點、，且，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數的定義域與導數，并對導數進行因式分解，然后對導數方程的根是否在定義域內進行分類討論，從而確定函數相應的單調區間；（2）先利用函數有兩個零點、將利用和進行表示，于此同時，利用分析法將所要證明的問題進行轉化，轉化為，并結合前面的結果，令，構造新函數利用導數來進行證明.
試題解析：（1），定義域為，
，由于，，
①當時，對任意，，則函數的單調遞增區間為；
②當時，令，解得，
當時，，當時，，
此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
（2）因為、是函數的兩個零點，有，
則，，
兩式相減得，
即
所以                         
又因為，當時，；當時，
故只要證即可，即證明，
即證明，
即證明，
設.令，
則，因為，所以，當且僅當時，
所以在是增函數；又因為，所以當時，總成立.
所以原題得證.