Question

已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，sinx)，

c

=(-1，0)．
（1）若x=

π

3

，求向量

a

、

c

的夾角θ；
（2）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，函數f(x)=λ

a

•

b

的最大值為

1

2

，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）當x=

π

3

時，求出向量

a

、

c

，利用數量積的坐標運算求出向量

a

•

c

，從而求出向量

a

、

c

的夾角θ；（2）向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，sinx)，代入函數f(x)=λ

a

•

b

，利用三角函數的誘導公式進行化簡，轉化為三角函數在定區間上的最值，即可求得結果．

解答：解：（1）當x=

π

3

時，

a

=(

3

2

，

1

2

)，
所以cosθ=

a • c

|a |•| c |

=

- 3 2

1×1

=-

3

2

，
因而θ=

5π

6

；
（2）f(x)=λ(sin2x+sinxcosx)=

λ

2

(1-cos2x+sin2x)，f(x)=

λ

2

(1+

2

sin(2x-

π

4

))，
因為x∈[-

3π

8

，

π

4

]，
所以2x-

π

4

∈[-

π

2

，

π

4

]，
當λ＞0時，fmax(x)=

λ

2

(1+1)=

1

2

，即λ=

1

2

，
當λ＜0時，fmax(x)=

λ

2

(1-

2

)=

1

2

，即λ=-1-

2

，
所以λ=

1

2

或λ=-1-

2

．

點評：此題是個中檔題．考查向量的數量積的坐標運算以及向量的夾角，和三角函數的誘導公式和三角函數在定區間上的最值等基礎知識，同時也考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．