Question

已知函數f（x）=2lnx-x．
（1）寫出函數f（x）的定義域，并求其單調區間；
（2）已知曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線是y=kx-2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）先求出在x=x₀處的導數，求出切線的斜率，又過點（x₀，f（x₀））求出切線方程，利用所求切線與y=kx-2是同一直線，建立等量關系，求出k即可．

解答：解：（Ⅰ）函數y=f（x）的定義域為：（0，+∞）．（1分）
∵f（x）=2lnx-x，∴f′(x)=

2

x

-1．
令f'（x）=0，則x=2．（3分）
當x在（0，+∞）上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表
∴函數y=f（x）的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知：f（x₀）=2lnx₀-x₀，（7分）
曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線的斜率為k=f′(x0)=

2

x0

-1．（8分）
∴切線方程為：y-f(x0)=(

2

x0

-1)(x-x0)．（9分）
∴y-(2lnx0-x0)=(

2

x0

-1)(x-x0)．
∴y=(

2

x0

-1)x+2lnx0-2．（10分）
∵切線方程為y=kx-2，
∴2lnx₀-2=-2．
∴x₀=1．
∴曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線的斜率k=

2

x0

-1=1．（13分）

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，曲線某點處的切線等基礎知識，考查利用數學知識分析問題、解決問題的能力．