Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②對于任意的a，b∈[0，2]，且a＜b，都有f（a）＜f（b）；③函數y=f（x+2）是偶函數，則下列結論正確的是（ ）
A．f（4.5）＜f（7）＜（6.5）
B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）

Answer 1

【答案】分析：求解本題需要先把函數的性質研究清楚，由三個條件知函數周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區間[0，2]上是增函數，觀察四個選項發現自變量都不在已知的單調區間內故應用相關的性質將其值用區間[0，2]上的函數值表示出，以方便利用單調性比較大小．
解答：解：由①知f（x）是以4為周期的周期函數；由②知f（x）在區間[0，2]上是增函數；
由③知f（2+x）=f（2-x），其圖象的對稱軸為x=2，
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函數y=f（x）在區間[0，2]上是增函數，
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故選A．
點評：本題綜合考查了函數的周期性、函數的對稱性與函數的單調性，涉及到了函數的三個主要性質，本題中周期性與對稱性的作用是將不在同一個單調區間上的函數值的大小比較問題轉化成同一個單調區間上來比較，函數圖象關于直線x=a對稱，有兩個等價方程：①f（a+x）=f（a-x），②f（x）=f（2a-x），做題時應根據題目條件靈活選擇對稱性的表達形式．