Question

（2012•藍山縣模擬）對大于或等于2的自然數m的3次方冪有如下分解方式：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，則
（1）8³的分解中最小的數是

57

；
（2）按以上規律分解，第n個式子可以表示表示為（n+1）³=

（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）

．

Answer 1

分析：（1）注意觀察各個數分解時的特點，不難發現：當底數是2時，可以分解成兩個連續的奇數之和；當底數是3時，可以分解成三個連續的奇數之和．則當底數是4時，可分解成4個連續的奇數之和．可設8³可連續分成2n+1，2n+3，2n+5，…之和，再相加求解n．
（2）按以上規律分解，第n個式子可以表示為（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．

解答：解：（1）由分析可設8³=（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）+…共8項，
8³=16n+8²
求得n=28，2n+1=57．
即在8³的分解中，最小數是57．
（2）注意觀察各個數分解時的特點，不難發現：當底數是2時，可以分解成兩個連續的奇數之和；當底數是3時，可以分解成三個連續的奇數之和．
按以上規律分解，第n個式子的第一個和式是n（n+1）+1，一共有n+1項．
∴第n個式子可以表示為：
（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）
故答案為：57，（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．