Question

（2012•浦東新區二模）記數列{a_n}的前n項和為S_n．已知向量

a

=(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)（n∈N^*）和

b

=(an，cos

nπ

3

-sin

nπ

3

)（n∈N^*）滿足

a

∥

b

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求S_3n；
（3）設bn=2nan，求數列{b_n}的前n項的和為T_n．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線軛充要條件，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）S_3n=a₁+a₂+…+a_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n），且數列{an}：-

1

2

，-

1

2

，1，-

1

2

，-

1

2

，1，…為周期為3的周期數列，由此即可求得S_3n；
（3）bn=2nan=2ncos

2nπ

3

，再分類討論，n=3k、3k-1、3k-2（k∈N^*），即可求出數列{b_n}的前n項的和為T_n．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

，1)（n∈N^*）和

b

=(an，cos

nπ

3

-sin

nπ

3

)
∴a_n=(cos

nπ

3

+sin

nπ

3

)(cos

nπ

3

-sin

nπ

3

)=cos2

nπ

3

-sin2

nπ

3

=cos

2nπ

3

∴an=cos

2nπ

3

；
（2）數列{an}：-

1

2

，-

1

2

，1，-

1

2

，-

1

2

，1，…為周期為3的周期數列且a3k-2+a3k-1+a3k=0(k∈N*)．
∴S_3n=a₁+a₂+…+a_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=n(-

1

2

-

1

2

+1)=0．
（3）bn=2nan=2ncos

2nπ

3

．
當n=3k（k∈N^*）時，
∵b3k-2+b3k-1+b3k=23k-2(-

1

2

)+23k-1(-

1

2

)+23k•1=5•23k-3．
∴Tn=T3k=5(1+23+…+23k-3)=

5

7

(23k-1)=

5

7

(2n-1)．
當n=3k-1（k∈N^*）時，Tn=T3k-1=T3k-b3k=

5

7

(23k-1)-23k•1=-

23k+1+5

7

=-

2n+2+5

7

．
當n=3k-2（k∈N^*）時，Tn=T3k-2=T3k-1-b3k-1=-

23k+1+5

7

-23k-1•(-

1

2

)=-

23k-2+5

7

=-

2n+5

7

．
故Tn=

5 7 (2n-1)，(n=3k)  - 2n+2+5 7 ，(n=3k-1) - 2n+5 7 ，(n=3k-2)

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查分類討論的數學思想，認真審題，挖掘隱含是解題的關鍵．