Question

設圓Q過點P(0,2),且在x軸上截得的弦RG的長為4.

(1)求圓心Q的軌跡E的方程；

(2)過點F(0，1)，作軌跡E的兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N，試判斷直線MN是否過定點？并說明理由.

Answer 1

解:(1)設圓心Q的坐標為(x,y)，如圖,過圓心Q作QH⊥x軸于H,

則H為RG的中點.在Rt△RHQ中，QR²=QH²+RH².

∵QR=QP,RH=2,∴x²+(y-2)²=y²+4,即x²=4y.

(2)設A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),M(x_m,y_m),N(x_n,y_n)，

直線AB的方程為y=kx+1,則x_a²=4y_a,①  x_b²=4y_b,②

由①-②,得x_A+x_B==4k，∴x_M=2k.

∵點M(x_M,y_M)在直線y=kx+1上，∴y_M=kx_M+1=2k²+1.

∴點M的坐標為(2k,2k²+1).10分

同理可得x_C+x_D=,x_N=,y_N=x_N+1=+1,∴點N的坐標為(,+1).

直線MN的斜率為k_MN===，其方程為

y-2k²-1=(x-2k)，整理得k(y-3)=(k²-1)x，顯然，不論k為何值，點(0,3)均滿足方程，

∴直線MN恒過定點(0,3).