Question

已知函數f（x）=

ax2+bx+c

x+d

（其中a，b，c，d是實數常數，x≠-d）
（1）若a=0，函數f（x）的圖象關于點（-1，3）成中心對稱，求b，d的值；
（2）若函數f（x）滿足條件（1），且對任意x₀∈[3，10]，總有f（x₀）∈[3，10]，求c的取值范圍；
（3）若b=0，函數f（x）是奇函數，f（1）=0，f（-2）=-

3

2

，且對任意x∈[1，+∞）時，不等式f（mx）+mf（x）恒成立，求負實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函數的對稱性類比即可；
（2）分情況討論f（x）的范圍；
（3）先根據條件確定f（x）的解析式，再利用不等式和函數單調性求出m的取值范圍．

解答：解（1）∵a=0，
∴f(x)=

bx+c

x+d

=b+

c-bd

x+d

．
類比函數y=

k

x

(x≠0)的圖象，可知函f（x）的圖象的對稱中心是（-d，b）．
又∵函f（x）的圖象的對稱中心（-1，3），∴

b=3 d=1

．
（2）由（1）知，f(x)=3+

c-3

x+1

．
依據題意，對任x₀∈[3，10]，恒f（x₀）∈[3，10]．
①c=3，f（x）=3，符合題意．
②c≠3，c＜3時，對任x∈[3，10]，恒f(x)=3+

c-3

x+1

＜3，不符合題意．
所c＞3，函f(x)=3+

c-3

x+1

[3，10]上是單調遞減函數，且滿f（x）＞3．
因此，當且僅f（3）≤10，
即3＜c≤31時符合題意．                           　
綜上，所求實c的范圍3≤c≤31．
（3）依據題設，

f(x)+f(-x)=0 f(1)=0 f(-2)=- 3 2

解

a=1 c=-1 d=0

于是f(x)=x-

1

x

．
由

f(mx)+mf(x)＜0 m＜0 x≥1

，得2mx-

1

mx

-

m

x

＜0，
∴（2x²-1）m²＞1
∵m＜0
∴m＜-

1

2x2-1

．
因此，m＜(-

1

2x2-1

)min．
∵函數y=--

1

2x2-1

(x≥1)在[1，+∞）是增函數，
∴y_min=y（1）=-1．
∴所求負實數m的取值范圍m＜-1．
故答案為m＜-1．

點評：本題主要考察利用函數奇偶性，對稱性求解析式，恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于難題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉化為最值的方法求解