Question

（附加題，10分）已知函數，數列滿足，且．
（1）試探究數列是否是等比數列？（5分）
（2）試證明.（5分）

Answer 1

（1）數列是首項為，公比為的等比數列. （2）證明：見解析。

本試題主要是考查了等比數列的定義和運用數列的求和證明不等式的運用。
（1）由已知的關系式化簡變形得到數列的遞推關系，然后分析證明得到。
（2）由（1）知數列是首項為1，公比為的等比數列
得到通項公式，進而分析求和，得到證明。
解：（1）由得
，即 ----------1分
∴或      ∵，∴不合舍去.
由得，，（）--------3分
∴，
∴數列是首項為，公比為的等比數列. -------------------5分
（2）證明：由（1）知數列是首項為，公比為的等比數列
∴，∴， ------------------6分
∴＝    ---8分
∵對有，
∴，∴，即 ---10分